Základem metody je výpočet NPV (net present value, čistá současná hodnota) ze známých budoucích peněžních toků. NPV určíme procesem diskontování podle výnosové křivky.
Metoda vychází z očekávaných peněžních toků, aktuální výnosové křivky, navrhnutého scénáře změny výnosové křivky a nejméně dvou výpočtů NPV. Jednou určíme NPV podle aktální výnosové křivky, podruhé podle křivky modifikované scénářem. Rozdíl takto získaných NPV odpovídá riziku změny tržní ceny portfolia, které podstupujeme s uvažovaným scénářem.
Výnosová křivka a její změny
Par křivka - Křivka par je závislost úrokových měr na době splatnosti. Tvoří úrokové sazby bez korekcí tak, jak jsou publikované v informačních zdrojích. Konvence pro interpretaci sazeb se běžně liší pro doby splatnosti do jednoho roku a nad jeden rok.
Křivka s nulovým kupónem - Pro účely NPV analýzy je potřeba sjednotit konvence výkladu úrokových měr a oprostit se od výplat kupónů před dobou splatnosti. V praxi se o konverzi postará metoda bootstrapping nebo iterační metoda numerické matematiky Newton - Raphson. Praktičtější vyjádření křivky je pomocí série diskontních faktorů, pro každé standardní časové pásmo jeden diskontní faktor, např.:
df(i) = 1 / ([1 + r(i)] d/B)
kde df(i) je diskontní faktor pro období i počítaný na základě úrokové míry s nulovým kupónem r(i), počtu dní d a basis B (360 nebo 365).
Scénáře změny křivky - Definice scénářů pro uvažovanou změnu výnosové křivky je alfou a omegou metody. Je to prostor pro seberealizaci hlavního stratéga finanční instituce, visionáře, který má zkušenosti s dosavadním vývojem úrokových měr, analyzuje současné informace, náladu, která panuje na trhu apod. Je to také rys velké flexibility této metody, který způsobil uvržení starých metod do zapomnění.
Scénář za účelem NPV citlivostní analýzy definujeme jako sérii jednotlivých změn sazeb výnosové křivky, vyjádřený v bps (basis points, 1% úrokové míry = 100 bps). Jeho konkrétním vyjádřením může být například tabulka:
Takový scénář bychom zvolili, pokud bychom měli indicie, že výnosové míry porostou výrazně na krátkých dobách splatnosti a méně výrazně na delších dobách splatnosti.
Mapování cash flow
Tržní cena portfolia bývá založena na NPV, vypočteném z diskontovaných hodnot jednotlivých cash flow. Běžně tedy při stanovení NPV postupujeme tak, že určíme diskontní faktory právě k takovým dobám splatnosti, kdy jsou splatná jednotlivá cash flow (zpravidla pomocí lineární interpolace výnosové křivky).
Za účelem NPV citlivostní analýzy musíme ale postupovat jinak. Ve výsledku potřebujeme srovnat dopad scénáře ve standardních časových pásmech, takže proces diskontování provedeme přímo pomocí standardních hodnot, bez žádné interpolace výnosové křivky. Skutečná cash flow ale musíme nahradit ekvivaletními tak, že jejich součet bude shodný se skutečností, ale doby splatnosti budou ve standardních maturitách. Výše jednotlivých cash flow se mohou nepatrně lišit podle zvolené metody: Pro rata nebo NPV & duration mapping.
Pro rata
Jde o proporcionální rozdělení cash flow, kde větší váhu má bližší standardní maturita. Uvažujme, že skutečné cash flow tvoří jedna platba ve výši cf se splatností d dnů, kterou potřebujeme rozdělit na dvě platby se standardními maturitami d1 a d2. Hledané výše ekvivalentních cash flow cf1 a cf2 vypočteme
cf1 = cf x (d2 - d) / (d2 - d1),
cf2 = cf - cf1.
Mapovací metoda pro rata má i grafickou interpretaci, jak se lze přesvědčit na grafu 1.
Jestliže například skutečné cash flow má splatnost za 40 dnů a výši 1 000 000 Kč a standardní maturity ve výnosové křivce jsou 31 a 61 dnů tak ekvivaletní cash flow v maturitách 31 a 61 dnů budou:
cf1 = 1000 x ( 61 - 40 ) / ( 61 - 31 ) = 700 Kč
cf2 = 1000 - 700 = 300 Kč.
NPV & duration mapping
Sofistikovanější metoda hledá rozložené cash flow tak, že NPV a durace skutečného cash flow jsou stejná jako NPV a durace nově vytvořeného mikroportfolia dvou cashflow. Na výsledek NPV citlivostní analýzy rozdíl mezi pro rata NPV&duation mapování nemá větší význam a proto se v praxi příliš nepoužívá.
NPV
Dalším krokem v analýze bude výpočet NPV z namapovaných cash flow. Protože už máme dobře připravené diskontní faktory a cash flow, získáme NPV jednoduše výrazem:
NPV = NPV(1) + NPV(2) + ... + NPV(n),
NPV(i) = df(i) x cf(i), i = 1,...,n,
kde
cf(i) jsou peněžní toky ve standardních maturitách,
df(i) jsou diskontní faktory pro tytéž maturity,
n je celkový počet peněžních toků.
NPV je tedy prostým součtem diskontovaných namapovaných cash flow.
Citlivost NPV
Za účelem kvantifikace citlivosti, změření úrokového rizika a jeho konkrétní číselné vyjádření, nám zbývá aplikovat scénář, určit diskontní faktory pro modifikovanou výnosovou křivku a vypočítat znovu NPV s každou změnou výnosové křivky.
Aplikace scénáře
Jednou možností, jak aplikovat scénář modifikace výnosové křivky je použít scénář vcelku, vypočítat novou křivku, diskontní faktory a (jedno) nové NPV'. Citlivost pak vyčíslíme výrazem NPV' - NPV. Jedná se o klasickou metodu NEV.
Zajímavější výsledky ale dostaneme, pokud scénář aplikujeme po jednotlivých maturitách a vždy spočteme nové NPV(j). Umožní nám to určit citlivost ne jako jedno číslo, ale jako citlivostní vektor, ze kterého bude zřejmé, na jakých maturitách je portfolio citlivé nejvíce.
V prvním kroku nejdříve tedy najdeme první posun křivky v první maturitě (1M), a dopočítáme nové hodnoty diskontních faktorů. Značme prvním indexem krok metody a druhým indexem pořadí maturity ve výnosové křivce. V prvním kroku vypočteme sadu diskontních faktorů po aplikaci posunu u první maturity:
df(1,1) = 1 / ([1+r(1)+dr(1)] (d (1)/B))
df(1,i) = 1 / ([1+r(1)+dr(1)] (d (i)/B))
pro i=2,...,n,
kde
r(i) je výnosová míra i-té maturity,
dr(1) je jednoduše posun ze scénáře náležející první maturitě (dosazujeme úrokovou sazbu formou desetinného čísla, např. 10 bps = 0,001).
Obecněji v j-tém kroku metody máme sadu diskontních faktorů
df(j,i) = 1 / ([1+r(1)+dr(1)] (d (i)/B))
kde dr'(j) = dr(j), pokud i = j a
dr'(j) = 0, pokud i se nerovná j.
Scénář je možné aplikovat jak na výnosovou křivku par, tak na křivku s nulovým kupónem. Při aplikaci na křivku par vznikají zajímavé souvislosti s procesem bootstrappingu, ze kterého může vzniknout reportovaná nenulová citlivost i v periodách, ve kterých není žádné cash flow. Takovým na první pohled obtížně interpretovatelným výsledkům se nejlépe vyhneme, když scénář aplikujeme na křivku s nulovým kupónem.
Aplikace scénáře po jednotlivých maturitách
Citlivost úrokového rizika
Po nezbytné formalizaci diskontních faktorů už můžeme vypočítat NPV v jednotlivých krocích. Po aplikaci posunu úrokové míry na j-tém místě dostáváme
NPV(j) = df(j,1) x cf(1) + df(j,2) x cf(2) + ... + df(j,n) x cf(n)
a vektor citlivosti zapíšeme
C(i) = NPV(i) - NPV.
Máme tak vyčíslenou citlivost současné ceny portfolia na posun výnosové míry v každé maturitě křivky. Navíc můžeme samozřejmě vyčíslit celkovou citlivost součtem dílčích citlivostí:
C = C(1) + C(2) + ... + C(n).
Interpretace výsledku
Výsledná citlivost C vyjadřuje o kolik se změní tržní hodnota analyzovaného portfolia se změnou výnosových měr podle definovaného scénáře.
Jestliže všechny peněžních toky jsou pozitivní, NPV je kladné číslo a scénář popisuje změnu výnosových měr nahoru, nově vypočtené diskontní faktory způsobí větší diskontování a v každém kroku vypočteme menší současnou hodnotu. Výsledná citlivost bude záporná, dokonce všechny prvky citlivostního vektoru budou záporné. V takovém případě portfolio manager musí očekávat ztrátu, snížení tržní ceny portfolia.
V praxi ale struktura cash flow je komplikovanější a i uvažovaných scénářů je více. Popsaná metoda je poměrně náročná z výpočetního hlediska, je potřeba vypořádat se s mapováním cash flow, mnohokrát vyčíslit diskontní faktor a neztratit přehled nad vypočtenými NPV. Odměnou je mimořádná flexibilita, s jakou metoda zachází se scénáři a výsledek, ve kterém je citlivost nejen pro celek, ale i pro dílčí časová pásma výnosové křivky.
Různorodost scénářů jde ale proti srovnatelnosti výsledků navzájem. Pokud vedení ustanoví pravidla pro maximální výši celkové citlivosti na úrokové riziko, je samozřejmě potřeba výpočet provádět se standardizovaným scénářem. Takovým scénářem je často paralelní posun o 10 bps. Některé treasury management systémy ale výrazem "sensitivity" myslí pevně nadefinovaný posun o 1 bps.
Příklad
Ukažme si výše uvedený postup na konkrétním příkladu. Vyjdeme z výnosové křivky uvedené v tabulce, která představuje křivku s nulovým kupónem.
Dále uvažujeme, že v našem portfoliu máme následující budoucí peněžní toky instrumentů:
Uvažujeme takové obchody, které v těchto dnech maturují, nebo se u těchto obchodů vyplácí kupón. Bereme v úvahu jak splátky jistiny, tak vyplácené kupóny. U obchodů s pohyblivým kupónem uvažujeme jen první periodu, u které již byl kupón zafixován. Následující periody ještě výši kupónu nemají určenou a nejsou tedy zatíženy úrokovým rizikem. Například u úrokového swapu (IRS) zahrneme všechny budoucí cash flow z pevně úročené nohy, zatímco u variabilně úročené nohy si všímáme pouze úroku, který již byl zafixován (pokud je vůbec nějaký).
Po mapování metodou pro rata dostaneme ekvivalentní peněžní toky, jak je uvádí tab. 3, ve které jsou také uvedeny jejich diskonotované hodnoty a základní NPV podle výnosové křivky bez aplikace scénáře změn úrokových měr.
Cash flow z prvních dvou řádků jsme spočetli již dříve. Do periody 3M se rozloží dvě skutečná cash flow, konkrétně
-2000000 x (184-138) x (184-92) + 2000000 x (184-161) x (184-92) = -500000.
NPV jsou vypočtena na základě diskontních faktorů původních a diskontních faktorů po aplikaci scénáře, jak je uvádí následující tabulka.
Například diskontní faktor pro 1M podle základní výnosové křivky je
1 / [1 + 0,0204]31/360 = 0,99826.
Diskontní faktor pro 1M podle křivky posunuté o 30 bps v periodě 1M je
1 / [1 + 0,0204 + 0,0030]31/360 = 0,99801.
V další části tabulky jsou diskontovaná cash flow. V prvním kroku se cash flow pro 1M diskontuje s df(r+dr):
700 000 x 0.99801 = 698 607,
ostatní diskontovaná cash flow ve sloupci - kroku metody - jsou stejná jako základní v předchozí tabulce. I v dalších krocích jsou šedě podbarvené buňky na diagonále označena cash flow u kterých se uplatní scénář změny výnosových měr.
V posledních řádcích jsou shrnuta NPV(j) spočítaná v jednotlivých krocích, např pro první krok:
698 607 + 298 970 + ... -464 066= 545 576
a vektor citlivosti, např.
C(1) = 545 576 - 545 752 = 177 Kč
Celková citlivost na změnu výnosových měr podle uvažovaného scénáře je součet poslední řádky:
C = 177 + 149 + ... - 689 = -651 Kč
Podle scénáře hrozí ztráta na tržní ceně portfolia ve výši 651 korun. Z tabulky je patrnné, že ačkoliv jsme ve scénáři předpokládali větší volatilitu sazeb na krátkých dobách splatnosti, většímu riziku jsme vystaveni na opačném konci časové osy, kde převážili větší peněžní toky.
Další příbuzné metody
Význam měření úrokového rizika nabyl na významu po deregulaci úrokových měr v osmdesátých letech minulého století. V té době zaznamenala velký rozmach analýza zvaná jednoduše Gap. Analýzou Gap se později označuje více metod, které různým způsobem měří úrokové riziko.
Tradiční Gap analýza
Klasická verze analýzy Gap měří citlivost úrokových příjmů. Spočívá v definování pevného časového rámce, zpravidla do jednoho roku. Následně se vyčíslí v nominálních hodnotách aktiva (RSA = rate sensitive assets) a pasiva (RSL = rate sensitive liabilities) úrokových instrumentů, která v tomto čase maturují nebo se změní fixace úroku v případě instrumentů navázaných na pohyblivé sazby. Jejich rozdíl je nazýván GAP:
GAP = RSA - RSL
A výsledek analýzy je prezentován změnou očekávaných úrokových příjmů v závislosti na očekávané změně úrokové sazby:
Δ úrokových příjmů = GAP x Δ úrokových sazeb
Metoda je výpočetně nenáročná, ale pro značné nedostatky se již nepoužívá. Především nezohledňuje rozdíl v dobách splatnosti a pracuje pouze s paralelním posunem výnosové křivky. Časový horizont bývá také o poznání delší. "53% společností řídí úrokové riziko v horizontu 5 let, 24% v horizontu 10 let.", uvádí Pavel Riegger, Ernst&Young v průzkumu Treasury 2006.
Je důležité si také uvědomit, že metoda není o citlivosti tržní ceny portfolia (jako u podrobně popsané metody NPV citlivosti výše), ale o změně velikosti úroků, které dostaneme (nebo zaplatíme) v budoucnu s ohledem na současný stav aktiv a pasiv.
Liquidity Gap
Termínem Liquidity Gap bývá nazývána metoda cash flow managementu, kdy očekávané pozitivní a negativní peněžní toky jsou agregovány po měsících nebo jednotlivých dnech a jejich rozdíl je opět nazývan Gap. Je-li Gap záporný, znamená to, že budeme muset platbu úroků financovat z jiných zdrojů (interest rate mismatch risk).
Durace a analýza Duration Gap
Metoda vychází z durace, která vyjadřuje citlivost změny ceny instrumentu v závislosti na změně úrokové míry. Durace je svým způsobem aditivní veličina - jestliže známe duraci jednoho obchodu, durace celého portfolia aktiv je jednoduše vážený průměr durací, kde vahami jsou tržní ceny jednotlivých obchodů. Od tradiční analýzy Gap přebírá metodiku klasifikace úrokově citlivých aktiv a pasiv. Místo nominálních hodnot ale počítá s tržními hodnotami (MVA a MVL). Dalším stavebním kamenem je durace portfolia aktiv (DA) a pasiv (DL). Šikovným způsobem metoda definuje celkovou Duration Gap (DGAP):
DGAP = DA - (MVL / MVA) x DL
Metoda dále definuje MVE (market value of equity) jako položku, pro kterou platí
MVE = MVL + MVE
a konečně metoda měří úrokové riziko výrazem
ΔMVE = - DGAP x MVA x Δr / ( 1 + r),
kde ΔMVA je změna tržní hodnoty vlastního jmění, tedy změna tržní hodnoty sledovaných instrumentů a @r je uvažovaná změna úrokové míry.
Je-li DGAP záporné číslo, například poskytli jsme více úvěrů než nabrali depozit, a uvažujeme o zvýšení úrokových sazeb, celková tržní cena protfolia úvěrů a depozit se zvýší (@MVA bude kladné).
Na rozdíl od tradiční Gap analýzy metoda Duration Gap tedy vyjadřuje úrokové riziko pomocí třžní ceny portfolia, podobně jako výše popsaná simulační metoda citlivosti NPV. V základní formě ale Duration Gap analýza neřeší riziko změny sklonu nebo pokřivení výnosové křivky. Veškeré analýzy založené na duraci jsou také omezeny na malé změny úrokových sazeb.
Terminologie
V literatuře a programovém vybavení se používá slůvko GAP neobyčejně často. Například Reuters Kondor+ treasury a risk management systém označuje slovy "Gap Analysis" report, který je počítán metodou podobné NPV citlivosti popsané výše, s tradiční Gap Analýzou nemá mnoho společného. Risk manažeři s oblibou vyjíždějí "gapovku", gapová analýza je žádána vedením atd. Pokud se tedy setkáte na novém působišti s pojmem GAP poprvé, vyjasněte si hned, co se tím vlastně myslí a jaká je metodika na pozadí. Je z čeho vybírat.
Autor je nezávislý konzultant
